Ist Ihnen schon einmal aufgefallen, dass man beim Monopoly deutlich häufiger auf dem Opernplatz landet als auf der Parkstraße? Auf lange Dauer beträgt der Unterschied sogar durchschnittlich 48%! Aber wie lässt sich solches Übergewicht zahlenmäßig bestimmen? Dazu gibt es zwei Möglichkeiten, die nachfolgend interaktiv vorgestellt werden:

1. Im Sinne einer so genannten Monte-Carlo-Methode kann man ganz praktisch zu einem Würfel greifen und mit genügend Ausdauer eine Figur über den Rundkurs "jagen": Um Geld, Hotelbauten etc. braucht man sich dabei natürlich nicht zu kümmern - es interessiert jeweils nur das Feld, auf dem man landet und das man Wurf für Wurf in einer Zählliste statistisch erfasst.
Wenn man dann einige hundert, besser sogar einige tausend mal gewürfelt hat, erkennt man, welche Felder bevorzugt sind und welche Felder weniger oft vorkommen. Wem Zeit und Geduld fehlen, der kann einfach hier klicken, um eine animierte Computer-Simulation zu starten (dabei wird der Würfel durch ein programm-technisch realisiertes Pendant ersetzt).

2. Man kann natürlich auch komplizierte Formeln aufstellen, die es erlauben, die Wahrscheinlichkeiten für den Aufenthalt auf den diversen Felder zu berechnen: Zuerst für den Zeitpunkt nach dem ersten Wurf, dann für den Zeitpunkt nach dem zweiten Wurf etc. Wie sich diese Wahrscheinlichkeiten Zug für Zug entwickeln und dabei langsam einer stabilen Verteilung annähern, kann man an Hand einer hier startbaren Animation sehen.
Und wer sich vor selbst vor komplizierten mathematischen Formeln nicht scheut, kann sogar diese Wahrscheinlichkeiten direkt berechnen - allerdings ist dabei ein lineares Gleichungssystem mit 121 Gleichungen und 120 Unbekannten zu lösen. Diesbezügliche Details findet man in der mathematischen Literatur unter dem Stichwort "Markow-Kette".

Übrigens: Dass solche mathematischen Analysen nicht nur "l'art pour l'art" sind, dürfte sich eigentlich von selbst verstehen. Was nützt ein Hotel mit der verlockendsten Chance auf eine hohe Mieteinnahme, wenn zu selten einer hinkommt? Konkret: Die Rendite eines Bauvorhabens beim Monopoly richtet sich eben nicht nur nach der erzielbaren Miete, sondern auch nach der durchschnittlichen Häufigkeit eines "Besuchs", und da machen Unterschiede von bis zu 48% schon einiges aus.

Auch wenn die beiden Animationen graphisch ähnlich, nämlich mit sich dynamisch ändernden Balkendiagrammen, dargestellt sind, so muss doch auf einen entscheidenden Unterschied hingewiesen werden: Während die Wurf für Wurf durchgeführte Berechung der Wahrscheinlichkeiten bei jedem Start immer zum selben Ablauf führt, bietet die zufallsgesteuerte Monte-Carlo-Simulation jedesmal ein neues Bild.

Bei diesen Monopoly-Seiten handelt es sich um eine interaktive Ergänzung zu meinem Buch "Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen". Die mathematische Analyse des Monopoly wird dort in Kapitel 1.16. ("Markow-Ketten und Monopoly") beschrieben.
In Bezug auf die Ereignis- und Gemeinschaftskarten bezieht bezieht sich diese Analyse auf die Ausgabe, die seit ca. Mitte der Achtziger Jahre im Handel ist. Für ältere und ausländische Ausgaben (wie beispielsweise die amerikanische Ausgabe) ergeben sich geringfügig andere Resultate.
Für beide interaktiven Darstellungen muss JavaScript aktiviert sein. Außerdem ist ein Browser Netscape 6.2 bzw. Internet Explorer 5.0 oder neuer erforderlich.
Anregungen und Kommentare sind willkommen

(C) Jörg Bewersdorff, 2002-, www.bewersdorff-online.de,